สถิติ

สถิติ - Mind map

นิยาม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต $ \mu, \bar{x} $ คือ ผลรวมของค่าของข้อมูลทั้งหมด หารด้วยจำนวนของข้อมูล

มัธยฐาน (Median) คือ ค่าที่อยู่ตำแหน่งตรงกลางของข้อมูลทั้งหมดที่เรียงลำดับจากน้อยไปมาก หรือมาไปน้อย

ฐานนิยม (Mode) คือ ค่าของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric mean, G.M.)

ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก (Harmonic mean, H.M.)

ค่ากึ่งกลางพิสัย (Mid-Range)

การวัดค่ากลางของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
$ \mu, \bar{x} $
  1. $ \mu = \frac{\sum x}{N} $
  2. $ \mu = \frac{\sum wx}{\sum w} $
  3. $ \mu = \frac{\sum f\bar{x}}{\sum N} $
Median $ \frac{N + 1}{2} $
Mode ข้อมูลที่มีความถี่มากที่สุด
G.M. $ G.M. = \sqrt[N]{x_1.x_2.x_3...x_N} $
$ \log G.M. = \frac{1}{N}\sum \log x $
H.M. $ \frac{N}{\sum \frac{1}{x}} $
Mid-Range $ \frac{X_{max} + X_{min}}{2} $
เมื่อ $ X_{max} = $ ค่าสูงสุดของข้อมูล
$ X_{min} = $ ค่าต่ำสุดของข้อมูล
การวัดค่ากลางของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
$ \mu, \bar{x} $
  1. $ \mu = \frac{\sum fx}{\sum f} = \frac{\sum fx}{N} $
  2. $ \mu = a + I\bar{y} $
    เมื่อ $ \bar{y} = \frac{\sum fy}{N} $
    และ $ y = \frac{x - a}{I} $
Median $ Med = L + I\Big{(}\frac{\frac{N}{2} - \sum f_L}{f_M}\Big{)} $
Mode จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่มี $ \frac{f}{I} $ สูงสุด
G.M. $ G.M. = \sqrt[N]{x_1^{f_1}.x_2^{f_2}.x_3^{f_3}...x_N^{f_N}} $
$ \log G.M. = \frac{1}{N}\sum f \times \log x $
H.M. $ \frac{N}{\sum \frac{f}{x}} $
Mid-Range $ \frac{X_{max} + X_{min}}{2} $
เมื่อ $ X_{max} = $ ขอบบนของชั้นสูงสุด
$ X_{min} = $ ขอบล่างของชั้นต่ำสุด
การวัดตำแหน่งของข้อมูล

ควอร์ไทล์ที่ r (Qr) คือ ค่าที่อยู่ตำแหน่งที่ r ส่วนใน 4 ส่วนของข้อมูลทั้งหมดเรียงลำดับจากน้อยไปมาก

เดไซล์ที่ r (Dr) คือ ค่าที่อยู่ตำแหน่งที่ r ส่วนใน 10 ส่วนของข้อมูลทั้งหมดเรียงลำดับจากน้อยไปมาก

เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ r (Pr) คือ ค่าที่อยู่ตำแหน่งที่ r ส่วนใน 100 ส่วนของข้อมูลทั้งหมดเรียงลำดับจากน้อยไปมาก

หา Qr, Dr, Pr ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

ขั้นตอนการหาค่า

  1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก
  2. หาตำแหน่งได้จากสูตร \[ Q_r = \frac{r(N+1)}{4} \\ D_r = \frac{r(N+1)}{10} \\ P_r = \frac{r(N+1)}{100} \]
หา Qr, Dr, Pr ของข้อมูลที่่แจกแจงความถี่

ขั้นตอนการหาค่า

  1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก
  2. หาตำแหน่งได้จากสูตร \[ Q_r = \frac{rN}{4} \\ D_r = \frac{rN}{10} \\ P_r = \frac{rN}{100} \]
  3. หาชั้นที่ตำแหน่งอยู่
  4. ค่าของตำแหน่ง $ = L + \Big{(} \frac{T - \sum f_L}{f_T} \Big{)}I $

L = ขอบล่างของชั้นที่ตำแหน่งอยู่
T = ตำแหน่ง
$ \sum f_L $ = ผลรวมของความถี่ของชั้นที่มีค่าต่ำกว่าชั้นที่ตำแหน่งอยู่
$ \sum f_T $= ความถี่ของชั้นที่ตำแหน่งอยู่
I = ความกว้างของอันตรภาคชั้น

การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (1)

พิสัย (Range)

\[ Range = x_{max} - x{min} \]

ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Q.D.)

\[ Q.D. = \frac{Q_3 - Q_1}{2} \]

ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)

ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

\[ M.D. = \frac{\sum\limits_{i=1}^N |x_i - \bar{x}|}{N} \]

$ \bar{x} $ = ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
xi = ค่าของข้อมูลแต่ละตัว
N = จำนวนของข้อมูล

ข้อมูลแจกแจงความถี่

\[ M.D. = \frac{\sum\limits_{i=1}^k |x_i - \bar{x}|}{\sum\limits_{i=1}^k f_i} \]

$ \bar{x} $ = ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
fi = ความถี่ของชั้นที่ i
xi = จุดกึ่งกลางชั้นของชั้นที่ i
$ \sum\limits_{i=1}^k f_i $ หรือ N = จำนวนของข้อมูลทั้งหมด
k = จำนวนชั้นของข้อมูล

การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (2)

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S.D., s, $ \sigma $)

ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

\[ s = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2}{N}} \] หรือ \[ s = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^N {x_i}^2}{N} - \bar{x}^2} \]

$ \bar{x} $ = ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
xi = ค่าของข้อมูลแต่ละตัว
N = จำนวนของข้อมูล

ข้อมูลแจกแจงความถี่

\[ s = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^k f_i(x_i - \bar{x})^2}{N}} \] หรือ \[ s = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^k f_i{x_i}^2}{N} - \bar{x}^2} \]

$ \bar{x} $ = ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
fi = ความถี่ของชั้นที่ i
xi = จุดกึ่งกลางชั้นของชั้นที่ i
$ \sum\limits_{i=1}^k f_i $ หรือ N = จำนวนของข้อมูลทั้งหมด
k = จำนวนชั้นของข้อมูล

สมบัติของ $ \sigma $ และ $ s^2 $
  1. $ \sigma $ ไม่มีค่าเป็นลบ
  2. ถ้า $ \sigma = 0 $ แสดงว่าข้อมูลทุดตัวมีค่าเท่ากัน
  3. $ \frac{\sum\limits_{i=1}^N ({x_i} - a)^2}{N} $ มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ $ a = \bar{x} $
  4. $ y_i = ax_i + b $ จะได้ว่า $ s_y = |a|s_x $ โดยที่ a,b เป็นค่าคงตัวใดๆ
  5. $ s^2 $ คือค่าความแปรปรวน
การวัดการกระจายสัมพัทธ์
สัมประสิทธิ์ของพิสัย

\[ \frac{x_{max} - x_{min}}{x_{max} + x_{min}} \]

สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์

\[ \frac{Q_{3} - Q_{1}}{Q_{3} + Q_{1}} \]

สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเฉลี่ย

\[ \frac{M.D.}{\bar{x}} \]

สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

\[ \frac{s}{\bar{x}} \]

ค่ามาตรฐาน

\[ z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{s} \]

$ z_i $ = ค่ามาตรฐานของข้อมูลที่ i
xi = ค่าของข้อมูลตัวที่ i ของชุดข้อมูล
$ \bar{x} $ = ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล
s = ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล


© Copyright